Tal

Tal, matem. Om man vid en sammanfattning af föremål (en mängd) bortser från de särskilda föremålens olika egenskaper och endast fasthåller hvad som är oberoende af dessa skiljaktiga egenskaper, erhålles begreppet antal, hvarigenom den gifna mängden skiljer sig från en sådan med flere eller färre föremål af samma slag som den gifnas. Bortser man dessutom från alla öfriga, för föremålen gemensamma egenskaper, utom den att hvarje föremål är ett, erhåller man begreppet tal, d. v. s. antal abstrakta enheter. Då talet utgör ett af matematikens enklaste begrepp, kan det icke i egentlig mening definieras, vare sig såsom »rörelsens (tidens) mått» eller på något annat liknande sätt. Det genom abstraktion vunna begreppet tal är närmare bestämdt helt positivt tal. Med de hela positiva talen kan man operera i enlighet med de allmänna aritmetiska reglerna, och man erhåller derigenom andra hela positiva tal. I vissa fall gifva dock kalkylerna icke något sådant resultat, t. ex. då frågan är att dela 7 i åtta lika delar, och i denna händelse skulle den framställda frågan egentligen betraktas som orimlig. Då emellertid ett sådant betraktelsesätt i vissa fall skulle ur praktisk synpunkt vara olämpligt, och då det dessutom i rent matematiskt afseende är af intresse att inskränka de obesvarbara frågorna till ett minimum, har man successivt generaliserat talbegreppet. För att vid divisioner erhålla en qvot, äfven då divisorn ej är en faktor till dividenden, hafva brutna tal eller bråk, blifvit införda. På samma sätt hafva operationer af formen a -- b och [rot]c, der b är större än a, och der c icke är en jämn qvadrat, gifvit anledning till införande af negativa och irrationella storheter. Slutligen har behofvet af en matematisk formel för lösningen af sådana, eqvationer som x² = -- a² föranledt talområdets utvidgande till att omfatta äfven imaginära tal. Genom den högre analysens utveckling har det sedan visat sig, att dessa nya slag af tal ega en vida större betydelse, än man vid deras första uppträdande kunnat ana, och att deras strängt vetenskapliga definition måste grundas på mycket djupgående undersökningar. Dock bör anmärkas, att vissa författare såsom »tal» räkna blott de positiva talen och åt de öfriga, gifva namnet »storheter». -- Utom den indelning af talen, som nu blifvit angifven, finnas äfven andra, som utgå från mera sekundära synpunkter. Så skiljer man mellan grundtal och ordningstal, benämnda (konkreta) och obenämnda (abstrakta) tal -- af hvilka dock egentligen blott de obenämnda äro tal i sträng mening --, primtal och sammansatta tal o. s. v. Om transfinita tal eller storheter se Oändligheten. Om åtskilliga tals symboliska betydelse se Talsymbolik. G. E.