Parallel

Parallel (Grek. parallelos, af para, bredvid, och allelon, hvarandra), jämnsides stående, jämnlöpande; likalydande, i alla väsentliga punkter lika; jämförande utredning af likheterna och olikheterna mellan tvänne tidehvarf, personer eller föremål. -- Enligt Euklides äro två räta linier parallella (jämnlöpande), om de ligga i samma plan och ej träffas, huru långt de än utdragas. På samma sätt sägas två plan eller, ett plan och en rät linie vara parallella, om de ej träffas, huru långt de än utdragas. Två kroklinier sägas vara parallella, om i hvarje punkt normalen till den ena kroklinien är normal till den andra och det mellan båda kroklinierna liggande stycket är konstant. -- Med parallelteori förstås läran om parallella liniers egenskaper och de enklaste deraf beroende satser, särskildt satsen rörande summan af de tre vinklarna i en triangel. Svårigheten vid parallelteorien är egentligen att ur definitionen härleda de parallella liniernas egenskaper. Redan Euklides fann sig nödsakad att för öfvervinnande af denna svårighet framställa en hypotes, det s. k. »elfte axiomet», hvilket innehåller, att två linier skära hvarandra, om de med en tredje skärande linie innantill på samma sida bildade vinklarna äro tillsammans mindre än två räta. Denna hypotes har möjligen af Euklides sjelf betraktats såsom ett postulat, ehuru det sedermera (kanske af Theon) inordnats bland axiomen. Emellertid fann man snart, att svårigheterna icke genom denna hypotes voro öfvervunna, enär den ej kunde betraktas såsom sjelfklar, hvarför försök gjordes att antingen bevisa densamma (det första försöket i denna riktning gjordes redan af Ptolemaios) eller framställa en ny definition på parallella linier. Emellertid gjorde teorien inga verkliga framsteg, förrän Legendre angrep problemet från en annan sida och visade, att summan af vinklarna i en triangel ej kan vara större än två räta vinklar. Att nämnda summa ej kan vara mindre än två räta vinklar, lyckades emellertid Legendre att bevisa först genom uppställande af en hypotes, hvilken icke var väsentligt enklare än Euklides', nämligen att genom en punkt, hvilken som hälst, inom en vinkel alltid en linie kan dragas, som skär båda vinkelbenen. Alla följande försök att, oberoende af liknande hypoteser, framställa parallelteorien hafva äfven misslyckats. Och omöjligheten af att lemna en sådan framställning, om man blott utgår från det abstrakta rumsbegreppet och ej tager åskådningen till hjelp, har faktiskt bevisats genom den s. k. absoluta geometrien, inom hvilken den euklideiska parallelteoriens satser icke gälla, och der, t. ex. genom en punkt i planet, flere än en rät linie kunna dragas, som, huru mycket de än förlängas, icke råka en gifven rät linie. -- Antalet olika försök att grundlägga parallelteorien är högst betydligt och uppgick redan vid midten af 19:de årh. till mer än 100. G. E.