Polyeder

Polyeder (af Grek. polys, mången, och hedra, yta), matem., kallas hvarje uteslutande af plana ytor begränsad kropp. De begränsande planen kallas polyederns gränsytor l. sidor; skärningslinierna mellan två närliggande gränsytor kallas kanter, och de punkter, der tre eller flere gränsytor sammanträffa, kallas hörn l. polyedriska (solida) vinklar. Med sidomnkel förstås vinkeln mellan två närliggande gränsytor. Polyedrarna indelas alltefter sidoytornas inbördes ställning och antal i särskilda slag, såsom prismer, pyramider, tetraedrar etc. Med eulersk polyeder menas en sådan, som från en inom dess gränsytor belägen punkt kan uppdelas så, att alla delarna äro pyramider. Med afseende på de eulerska polyedrarna gäller, att alltid antalet hörn och gränsytor är tillsammans två enheter större än kanternas antal. Så äro t. ex. i en kub hörnen (8) och gränsytorna (6) tillsammans två flere än kanterna (12). Denna vigtiga sats framställdes först af Euler och har sedan blifvit på många olika sätt bevisad. -- Med regelbunden polyeder menas en sådan, hvars gränsytor äro kongruenta och regelbundna polygoner. De regelbundna polyedrarna äro till antalet fem, nämligen tetraedern, kuben, oktaedern, dodekaedern och ikosaedern (se dessa ord). Halfreguliera polyedrar äro sådana, som begränsas af regelbundna polygoner af mer än ett slag, så att för en viss polyeder några gränsytor äro trianglar, andra qvadrater, o. s v. De halfreguliera polyedrarna, hvilka undersöktes först af Archimedes, äro till antalet 13; 10 bland dem begränsas af två olika slags polygoner, och de öfriga 3 af tre olika slags sådana. -- Med stjernpolyeder förstås en polyeder, som erhållits genom förlängning af en regelbunden polyeders sidor eller kanter (jfr Polygon). Stjernpolyedrarna, hvilkas teori först i vårt årh. blifvit behandlad, särskildt af Poinsot, äro till antalet fyra. -- Läran om polyedrars egenskaper och sättet att beräkna deras volym kallas stundom polyedrometri (af Grek. metron, mått). Denna lära hör till stereometrien och behandlades af Euklides i de tre sista böckerna (11--13) af »Elementa» G. E.