Trigonometriska funktioner kallas vissa storheter, som förekomma vid lösningen af trigonometriska problem. Dessa storheter äro egentligen till antalet sex, nämligen sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant och cosecant. Hänförda till en viss storhet x såsom oberoende variabel, tecknas de sex funktionerna i ordning: sin x, cos x, tg x, cotg x, sec x, cosec x. Representeras den oberoende variabeln x genom en vinkel, kan hvar och en af de sex trigonometriska funktionerna definieras såsom förhållandet mellan två sidor i en triangel ABC, der vinkeln B är rät och vinkeln A lika med x (se fig.). Under detta antagande är nämligen
Dessa definitioner på de trigonometriska funktionerna äro emellertid lämpliga endast med hänsyn till storheternas användning inom trigonometrien. Inom den högre analysen definieras de på helt annat sätt och bilda tillsammans en grupp af funktioner, som på det närmaste sammanhänga med exponentialfunktionen. -- Inom matematikens historia hafva de trigonometriska funktionerna först uppträdt under en helt annan form än den ofvan angifna, nämligen såsom linier hörande till en cirkelbåge. Vid lösningen af vissa problem rörande trianglar befanns det nödigt att införa linier, hvilka till sin storlek voro beroende af en cirkelbåges längd, så att, då linierna voro gifna, cirkelbågens längd omedelbart kunde an-gifvas, och tvärtom. Den första linie, som härvid infördes, var i sjelfva verket icke någon af de ofvan anförda trigonometriska funktionerna, utan kordan, d. v. s. sammanbindningslinien mellan cirkelbågens ändpunkter. Sedermera fann man emellertid lämpligare att i stället för kordan använda halfva kordan för dubbla bågen; och om radien i den cirkel, hvaraf bågen utgör en del, antages vara lika med längdenheten, är denna linie just sinus för bågens medelpunktsvinkel. Uppritar man nämligen med A till medelpunkt en cirkel, som går genom C, samt utdrager linierna CB och AB, tills de träffa cirkeln i K och D, så är tydligen CB å ena sidan lika med halfva kordan till dubbla bågen CD, å andra sidan lika med sin x, eftersom AC är = 1. Drager man vidare genom D en tangent och låter denna skära den utdragna AC i E, inses lätt, att AB = cos x, och att på grund af likformigheten hos trianglarna ABC och ADE,
BC BC DE = ------- . AD = ------- = tg x AB AB
samt
AC AC AE = ------- . AD = ------- = sec x AB AB
Drager man från A en radie AF vinkelrät mot AD och kallar vinkeln CAF (komplementet till x) för y, kan det lätt visas, att BC = cos y, DE = cotg y och AE = cosec y. Det nu anförda förklarar också uppkomsten af de fem sista trigonometriska funktionernas namn (om härledningen af namnet sinus se Sinus). Ursprungligen representerade nämligen tg x tangenten till en viss cirkel, sec x en skärande linie (Lat. secare, skära) i samma cirkel samt cos y, cotg y och cosec y i ordning sinus, tangent och secant för komplementet till y. -- Såsom ofvan nämndes, var kordan den trigonometriska funktion -- eller, mera exakt uttryckt, trigonometriska linie --, som först behandlades. Den användes redan af astronomen Ptolemaios vid hans beräkningar af sferiska trianglar och sedermera hos inderna. Från de senare härrör bruket att i st. f. kordan begagna sinus, en förbättring, som äfven upptogs af de arabiske matematikerna, i främsta rummet Al-Battani, och snart helt och hållet utträngde bruket af kordorna. Abulvefa införde bruket af tangenten, och äfven de öfriga trigonometriska funktionerna voro icke helt och hållet obekanta för araberna. Regiomontanus använde deremot egentligen endast sinus och tangenten. Först mot slutet af 1500-talet kommo de öfriga funktionerna i bruk i Europa, ehuru det dröjde länge, innan de nu brukliga namnen blefvo allmänt antagna. Den förste, som direkt hänförde de trigonometriska funktionerna till en rätvinklig triangel, var Rhaeticus i midten af 1500-talet. Såsom förhållanden mellan en sådan triangels sidor torde de hafva blifvit framställda först af Pitiscus (1600). I äldre tider begagnades ej beteckningarna sin x, cos x o. s. v., utan man använde i stället nya bokstäfver t. ex. s för sin x, c för cos x. Det var Euler, som (1744) införde det nu brukliga beteckningssättet, hvarigenom det blef möjligt att analytiskt behandla de trigonometriska funktionerna, och hela trigonometrien i öfrigt fick en alldeles ny form. Utom de nu nämnda funktionerna användes förr äfven sinus versus l. sagitta, som motsvarar linien BD i ofvanstående figur och analytiskt definieras genom likheten sin vers x =1 -- cos x. Denna funktion förekommer dock numera, såsom varande obehöflig, mycket sällan. -- De trigonometriska funktioner, om hvilka hittills talats, kallas äfven goniometriska, eller direkt cirkulära funktioner, till skilnad från de cyklometriska, eller inversa cirkulärfunktionerna, hvilka stundom inbegripas bland de trigonometriska. Dessa senare funktioner uppkomma, då man i likheterna y = sin x, y = cos x, etc. betraktar vinkeln x såsom funktion af dess sinus, cosinus, o. s. v. Funktionstecknen för de cyklometriska funktionerna äro arcsin, arccos, arctg, arccotg, arcsec och arccosec (af Lat. arcus båge). G. E.