Sida 360
Triftong ...
medelpunktsvinkel. Uppritar man nämligen med A till medelpunkt en cirkel, som går genom C, samt utdrager linierna CB och AB, tills de träffa cirkeln i K och D, så är tydligen CB å ena sidan lika med halfva kordan till dubbla bågen CD, å andra sidan lika med sin x, eftersom AC är = 1. Drager man vidare genom D en tangent och låter denna skära den utdragna AC i E, inses lätt, att AB = cos x, och att på grund af likformigheten hos trianglarna ABC och ADE,
BC BC DE = ------- . AD = ------- = tg x AB AB
samt
AC AC AE = ------- . AD = ------- = sec x AB AB
Drager man från A en radie AF vinkelrät mot AD och kallar vinkeln CAF (komplementet till x) för y, kan det lätt visas, att BC = cos y, DE = cotg y och AE = cosec y. Det nu anförda förklarar också uppkomsten af de fem sista trigonometriska funktionernas namn (om härledningen af namnet sinus se Sinus). Ursprungligen representerade nämligen tg x tangenten till en viss cirkel, sec x en skärande linie (Lat. secare, skära) i samma cirkel samt cos y, cotg y och cosec y i ordning sinus, tangent och secant för komplementet till y. -- Såsom ofvan nämndes, var kordan den trigonometriska funktion -- eller, mera exakt uttryckt, trigonometriska linie --, som först behandlades. Den användes redan af astronomen Ptolemaios vid hans beräkningar af sferiska trianglar och sedermera hos inderna. Från de senare härrör bruket att i st. f. kordan begagna sinus, en förbättring, som äfven upptogs af de arabiske matematikerna, i främsta rummet Al-Battani, och snart helt och hållet utträngde bruket af kordorna. Abulvefa införde bruket af tangenten, och äfven de öfriga trigonometriska funktionerna voro icke helt och hållet obekanta för araberna. Regiomontanus använde deremot egentligen endast sinus och tangenten. Först mot slutet af 1500-talet kommo de öfriga funktionerna i bruk i Europa, ehuru det dröjde länge, innan de nu brukliga namnen blefvo allmänt antagna. Den förste, som direkt hänförde de trigonometriska funktionerna till en rätvinklig triangel, var Rhaeticus i midten af 1500-talet. Såsom förhållanden mellan en sådan triangels sidor torde de hafva blifvit framställda först af Pitiscus (1600). I äldre tider begagnades ej beteckningarna sin x, cos x o. s. v., utan man använde i stället nya bokstäfver t. ex. s för sin x, c för cos x. Det var Euler, som (1744) införde det nu brukliga beteckningssättet, hvarigenom det blef möjligt att analytiskt behandla de trigonometriska funktionerna, och hela trigonometrien i öfrigt fick en alldeles ny form. Utom de nu nämnda funktionerna användes förr äfven sinus versus l. sagitta, som motsvarar linien BD i ofvanstående figur och analytiskt definieras genom likheten sin vers x =1 -- cos x. Denna funktion förekommer dock numera, såsom varande obehöflig, mycket sällan. -- De trigonometriska funktioner, om hvilka hittills talats, kallas äfven goniometriska, eller direkt cirkulära funktioner, till skilnad från de cyklometriska, eller inversa cirkulärfunktionerna, hvilka stundom inbegripas bland de trigonometriska. Dessa senare funktioner uppkomma, då man i likheterna y = sin x, y = cos x, etc. betraktar vinkeln x såsom funktion af dess sinus, cosinus, o. s. v. Funktionstecknen för de cyklometriska funktionerna äro arcsin, arccos, arctg, arccotg, arcsec och arccosec (af Lat. arcus båge). G. E.
Trigonometriska tabeller kallas tabeller, som angifva de numeriska värdena af de trigonometriska funktionerna eller deras logaritmer för ett större eller mindre antal olika vinklar. Det förra slaget af tabeller säges innehålla de naturliga, de senare åter de artificiella trigonometriska funktionerna, eller talen. De flesta bland de nu vanliga tabellerna angifva värdena för logaritmerna till sinus, cosinus, tangent och cotangent för alla vinklar, som innehålla ett helt tiotal sekunder, d. v. s. utgöra multipler af 1/32400 af en rät vinkel. För secanter och cosecanter behöfvas egentligen inga tabeller, enär dels dessa funktioner nästan aldrig användas vid numeriska beräkningar, dels deras logaritmer äro gifna genom relationerna log sec x = -log cos x och log cosec x = -log sin x. -- De första till vår tid bevarade trigonometriska tabellerna uträknades af astronomen Ptolemaios och innehöllo kordorna för alla bågar från 0 till 180°, hvilkas längd kunde uttryckas med ett helt antal hela eller halfva grader och under antagande att radien bestämdes till 60 längdenheter. Den indiske matematikern Bhaskara beräknade sinustabeller för hvarje grad, och hos araberna upprättades ännu utförligare sinustabeller af Abulvefa och Ibn Junis. I Europa var Peurbach den förste, som uträknade en sådan tabell för hvar tionde minut och med en radie = 600,000 längdenheter. Denna kalkyl utsträcktes vidare af Regiomontanus till hvarje minut och förbättrades genom antagandet af en radie = 10,000,000 längdenheter, hvarmed decimalberäkningen var fullständigt genomförd på detta område. Regiomontanus beräknade äfven en tangenttabell för hvarje grad. Nya tabeller utgåfvos sedermera af Apianus (1534), Copernicus (1543), Viète (1579), Rhaeticus (1596) och Pitiscus (1613), i hvilka de trigonometriska talen angåfvos med ända till 15 decimaler och för hvar 10:de, i vissa fall för hvarje sekund. Alla de nu nämnda tabellerna innehöllo, såsom uträknade före logaritmernas upptäckande, endast de naturliga trigonometriska talen. Efter nämnda upptäckt uträknades utförliga trigonometriska tabeller af Gunther (1620) och Vlacq (1628) för hvarje minut och af den senare för hvar 10:de sekund (1633). De trigonometriska tabeller, som under de sista två årh. utgifvits, hafva oftast varit förenade med logaritmtabeller (se d. o.). G. E.
Källa: Project Runeberg ·
