Sida 19
Loft ...
i allmänhet irrationella tal. Logaritmen för 1 är alltid 0. Om basen är större än 1, äro logaritmerna för alla egentliga bråk negativa, men positiva för alla öfriga tal; är basen åter mindre än 1, gäller ett motsatt förhållande. Med vanliga (artificiella, briggsska) logaritmer förstås sådana, der basen är 10. Dessa äro nästan uteslutande använda vid numeriska räkningar. Naturliga logaritmer åter äro sådana, hvilkas bas är det irrationella talet e, d. v. s. summan af serien
1 + 1/1 + 1/1*2 + 1/1*2*3 + ... = 2,7182818 ....
Dessa logaritmer kallas ofta, ehuru något oegentligt, hyperboliska logaritmer, emedan ytan af den liksidiga hyperbel, hvilkens eqvation är xy = 1, uttryckes genom logaritmen för motsvarande abscissa. De kallas också, ehuru alldeles oriktigt (se nedan), neperska logaritmer. Dessa logaritmer äro de enda, som förekomma inom den högre analysen. -- Vid numeriska beräkningar äro logaritmerna till stor nytta. Genom dem kan nämligen hvarje multiplikation eller division reduceras till addition eller subtraktion samt hvarje upphöjning till dignitet eller rotutdragning ersättas genom enkel multiplikation eller division. Vissa exponentialeqvationer kunna lösas endast medelst logaritmer. Äfven inom den högre analysen spela logaritmerna en vigtig rol, särskildt vid integrationer. Man har här generaliserat begreppet logaritm till att betyda hvarje storhet x, som uppfyller vilkoret ax = m, då a är basen och m en viss gifven storhet. Hvarje gifven storhet har ett obegränsadt antal logaritmer, af hvilka, om m och a båda äro positiva tal, en är reel, men alla de öfriga imaginära.
Logaritmerna uppfunnos 1614 af Neper, hvilken dock ej betraktade dem såsom exponenter, utan erhöll dem genom betraktande af två punkter, som på ett visst sätt rörde sig utefter två räta linier. Nepers logaritmer öfverensstämma hvarken med de naturliga eller med de vanliga logaritmerna (jfr Logaritmtabeller). Ungefär samtidigt med Neper kom äfven tysken J. Bürgi på tanken att använda logaritmer, men hans idé kom blott ofullständigt till utförande. Först efter differentialkalkylens upptäckt gjorde sig det nu vanliga betraktelsesättet gällande. -- De s. k. gauss'ska logaritmerna äro ingenting annat än vanliga logaritmer, hvilka blifvit sammanställda tre och tre så, att med log a alltid äro förenade log (1 + 1/a) och log (1 + a). De användas med fördel, då man ur logaritmerna för två gifna tal vill bestämma logaritmen för dessa tals summa eller skilnad. Dessa logaritmer framställdes först af Leonelli (1803), men hafva blifvit uppkallade efter Gauss, som 1812 utgaf de första hithörande tabeller. G. E.
Logaritmisk linie l. logaritmika (se Logaritm) kallas en kroklinie, der i hvarje punkt abscissan är logaritm till ordinatan. Krokliniens eqvation är x = log y. Den närmar sig åt ena hållet obegränsadt till x-axeln och aflägsnar sig åt andra hållet obegränsadt från samma axel. Logaritmikan har bl. a. äfven den egenskapen att, om ett antal abscissor väljes i aritmetisk progression, så bilda motsvarande ordinator en geometrisk sådan. -- Om logaritmisk spiral se Spiral. G. E.
Logaritmiskt dekrement (Lat. decrementum logarithmicum), fys., mekan., en af Gauss införd benämning på logaritmen för förhållandet emellan två successiva svängningsbågar hos en svängande pendel eller magnetnål. Detta tal skulle naturligtvis vara noll, om svängningsbågarna bibehölle sig absolut oförändrade. Men enär dessa oupphörligen aftaga, har logaritmiska dekrementet alltid ett positivt värde, hvilket visserligen är olika för olika apparater, men för en gifven apparat åtminstone i det närmaste konstant, såsom mångfaldiga experiment gifvit vid handen. Emedan nu bågarnas successiva aftagande härleder sig från det motstånd den svängande kroppen röner genom friktion och dylikt, blir det konstanta logaritmiska dekrementet ett mått på de motståndskrafter, som uppträda mot rörelsen. Bestämningen af logaritmiska dekrementet för magnetnålar, hvilkas svängningar röna en hindrande inverkan af induktionsströmmar i deras granskap, spelar en vigtig rol inom den moderna elektricitetsläran, bl. a. vid uppmätning af induktionsströmmars styrka. R. R.
Logaritmtabeller (se Logaritm) kallas numeriska tabeller, innehållande logaritmer för ett större eller mindre antal hela tal eller trigonometriska funktioner, och ur hvilka man således omedelbart kan erhålla logaritmen, då talet är gifvet, och tvärtom. Logaritmerna äro här för större beqvämlighets skull uttryckta såsom decimalbråk. Men den hela siffran (karakteristikan, se d. o.) är vanligen utelemnad, emedan den utan någon kalkyl kan bestämmas, och blott det egentliga bråket (mantissan) upptaget. För beräkning af logaritmer lemnar den högre analysen särskilda serier, hvilka omedelbart gifva de naturliga logaritmerna. Härur erhållas de vanliga logaritmerna genom att man öfverallt multiplicerar med den s. k. modylen, hvilken är 1/log e10. Neper sjelf uträknade icke några logaritmer för tal, utan blott för trigonometriska funktioner (sinus) och använde icke de vanliga logaritmerna. Äran häraf tillhör i främsta rummet Nepers vän H. Briggs, hvilken 1617 utgaf en tabell för logaritmerna till talen 1--1,000, uträknade med 14 decimaler, samt 1624 liknande tabeller för talen 1--20,000 och 90,000--100,000. De felande logaritmerna för talen 20,000--90,000 uträknades af A. Vlacq 1628 med 10 decimaler. De trigonometriska funktionernas logaritmer i det vanliga systemet beräknades först af Gunther (1620), sedermera fullständigare af Vlacq (1628), för hvarje minut af qvadranten och med 10 decimaler. I de första tabellerna förekommo naturligtvis åtskilliga räknefel, men dessa hafva småningom blifvit rättade, så att de nuvarande tabellerna torde kunna anses fullt felfria. För att uppmuntra till felens efterspanande hafva utgifvarna stundom utsatt en viss belöning för upptäckten af hvarje sådant. De tabeller, som numera utgifvas,
Källa: Project Runeberg ·
