Sida 762
Husbyggnadskonst
26
TEKNISK TIDSKRIFT
5 Febr. 19.19.
wr -f a arctg
to L
= E A zc
Således momentanvärdet uti reell form
eller
E
1 = — cos
/y
to/ + a arctg
toL
K
förutsättningen för hela denna metod är blott, att stationärt tillstånd är rådande, d. v. s. att systemet är stabilt, och att den primära kraften verkat teoretiskt från t — — 00, så att alla fria svängningar äro försvunna. I annat fall orsakar ju exempelvis en sinusfoimad e. m. k. icke en sinusformad ström. Då varje periodisk funktion kan uppdelas i harmoniska komposanter, och då exempelvis den resulterande verkliga strömmen (eller över huvud taget varje sökt storhei) tack vare ekvationernas lineära natur är lika med summan av de harmoniska komposanter, som orsakas av var och en av spänningens (eller den primärt verkande kraftens) harmoniska komposanter, verkande var en för sig, så kan den symboliska metoden användas även för icke harmoniska periodiska förlopp. Är exempelvis spänningen given och strömstyrkan sökt, så kan spänningens komposanter uttryckas i fullständig komplex form och var och en divideras med motsvarande impedans i komplex form. Den reella delen av den erhållna summan utgör problemets lösning, d. v. s. strömstyrkans momentanvärde.
De periodiska fenomenen utgöra säkerligen de viktigaste inom fysiken. Närmast dem torde dock komma fenomen av sådan natur, som orsakas av en »kraft», som från noll plötsligt stiger till ett konstant värde, som alltså från t — — 00 till t = o är lika med o och från t — o till / = + 00 är konstant lika med F. Så gott som alla överspänningsfenomen genom vandringsvågor äro bl. a. av denna natur, och detta även vid växelströmslinjer, då förloppet i regel utspelas pä en obetydlig bråkdel av tiden för en period. Det är i första hand fenomen av dylik natur, som operatorkalkylen behandlar. (Användningen kan dock härifrån utsträckas även till godtyckliga icke periodiska förlopp, och kommer jag i det följande även att något ingå därpå.)
En närmare undersökning skall emellertid visa, att ovannämnda diskontinuerliga »kraft» lika väl som en periodisk »kraft» kan erhållas såsom en summa av från t — — 00 verkande harmoniska komposanter. Vi tänka oss en periodiskt verkande »kraft», angripande på någon punkt av systemet, men som dock ej är en sinusfunktion av tiden utan har rektangulär vågform, med en amplitud
F
2
F
F
Går den för i — o just genom noll från - till
2
H - , kan den som bekant uttryckas genom en Fou-
riers serie
4 FT sin m0/ n 2 L 1
sm sin 5 roQi
i - T - P
3 5
Om vi till denna »kraft» dessutom addera en oavbrutet
F
— , erhålla vi tydligen en pe¬
konstant verkande »kraft»
riodisk kraft, som under en halv period är = o och under följande halvperioden = F o. s. v. Dess momentanvärde f kan då uttryckas genom serien:
/==- + -•- 2 2 r
sin to0t sin ^o>0t sin 5 ru0/
- - 1 - — - p
1 3 5
y = OO .
F F 4 sin U(0o*
/' t 4
f= + >
2 2 II —
«*=», 3
Vi kunna vidare skriva
(*)
,, ,, v-00
c r 2 sin 1 Jto0t
r r 2
' + /
2 2 7T y— '
*'=1. 3.
Låta vi nu to0 gå mot noll, så kunna de första termer na i serien försummas och blott de få inverkan, i vilka v är så stor, att 1 «o0 blir ändlig. När v är så stor, är emellertid talet 2 oändligt litet i förhållande till v och kan alltså betraktas som en difterential och kan /skrivas
F F 2
/= - + -
2 2
00
2 C sin vro0t
xj V
du
vilket, om uco0 sättes lika med en godtycklig cirkulär fre kvens to, även kan uttryckas
/= - + 2
00
F 2 C sin tot 2 TlJ O)
ätu
(2)
Tydligt är ju även, att när toQ går mot noll, den rek tmgulära periodiska »kraften» f förändras till en icke periodisk, som från t — — 00 till / = o var = o och för t > o blir = F. Vi ha alltså i ekv. (2) ett matematiskt uttryck för en dylik »kraft», uttryckt som en summa av en konstant »kraft» och en serie Irån / = — oc verkande harmoniska komposanter. Som en kontroll på framställ
sin (ot
ningens riktighet konstatera vi, att för / > o är f — — — aw —
.. f
oar .1
n
= 4- d. v. s. / - /^och för t < o är integralen -— —
2 2
d. v. s. / = o.
Vi kunna erhålla / i fullständig komplex form, om vi
erinra oss
, att sin t ot = — cos + som representeras
av
?'(°" + 7) = — . Alltså J
F F 2 reJ'wt ,
/ — — -J- — • — . I
2 2 7VJ J tO
o
eller
j 00
„ F F 2 r e**
/ = — 1 - / • ~r
2 2 ryj /
dp
(3)
(4;
Om nu denna »kraft», som vi exempelvis kunna tänka oss som en elektromotorisk kraft, verkar på ett ställe 1 vårt system, så är frågan den, huru de övriga storheterna inom systemet komma att variera. Vi kunna kalla momentanvärdet av en sådan storhet s. s kan representera exempelvis en strömstyrka eller en spänning på olika ställen inom systemet. Vi ha då helt enkelt att enligt den symboliska metodens regler beräkna det komplexa förhållandet Z för stationärt tillstånd mellan tvä mot ) och s svarande, men harmoniskt varierande storheter Z är en funktion av p — jto. Av det föregående följer nu, att s är lika med summan av de olika komposanter
1 Se Riemann-Weber: Die Partiellen Diflerentialgleichungen der Matematischen Physik, del 1, sid. 30
Källa: Internet Archive ·
