Sida 763
Husbyggnadskonst
27
5 Febr. 1919 ELEKTROTEKNIK, HÄFT. 2
som alstras av var och en av kraftkomposanterna eller
f F2 r
j/ o) + 2 77/ J (oZ[](l
V J )
d,o
eller
j 00
F F 2 r eF ,
=^+7 J/jjMf
O
2Z(o) 2 Ttj J pZ{p)
Att märka är, att den konstanta kraftkomposanten
(5)
(0
F
ju motsvaras av p = ja> — o, varför Z(p) övergår i Z[6), Den reella delen av ekvationerna (5) eller (6) är den fysikaliska lösningen av s.
Ekv. (5) resp. (6) kan ofta direkt användas vid lösning av en mängd fysikaliska problem, exempelvis vågor å linjer, som i en punkt plötsligt uppladdas med en konstant e. m. k., inkoppling av en konstant e. m. k. på en kombination av motstånd, induktanser och kapaciteter, det endimensionabla värmeledningsproblemet m. m.
Är F icke en från /= o konstant kraft utan en godtycklig, icke periodisk funktion av tiden, P\t), är det även möjligt att erhålla ett uttryck för s. Vi tänka oss F{t) som en oändlig summa oändligt små »krafter», var och en från början = o, men vid tiden /’ = z plötsligt stigande till värdet dF\z) = F'[z)dz. Vi erhålla på så sätt av ek. (6)
.1
, F'{t)dz F'[z)dz 2 Fe ds = -V- + w 1
2/(0) 2
2 F eF* T)
nj] pZ{p) 1
varav
/CO
Fil) 1 C C eF*-*)
= 2~Z(o) + xfj F {r)'/rf JM
dp • • • (7)
Av den största betydelse är emellertid nu, att man, utgående från ekv. (6), kan härleda en enkel formel, som direkt kan tillämpas på de flesta hithörande problem. Ekv. (6) kan skrivas:
F F 1 r e* ,cs
H - - • / y, -77 dp .
2 nj J pZ\P)
—j 00
+J00
2Z(o)
+ 00
För att närmare undersöka värdet av
-joo
J
A- j CO
eF
pz(p)
dp tänka
vi oss i det komplexa planet de reella och imaginära axlarna uppritade, samt dessutom kring origo som medelpunkt en cirkel med oändligt stor radie uppdragen (Fig. 1). Vi låta p betyda en komplex storhet a + bj, vilken som helst.
1 ifrågavarande integral sker integrationen längs den im aginära axeln, d. v. s. p är = ja), där w varierar från — oc till + 00. Emellertid är, såsom enkel räkning visar, integralen i det komplexa planet längs halvcirkeln EDA lika med noll för negativt t och längs halvcirkeln BCA lika med noll för positivt t. Integralen från — j cc till + /00 kan alltså för negativa t ersättas med integralen 1 det komplexa planet längs A ED A och för positiva t med integralen längs AECA. Nu är integralen längs konturen av en yta i det komplexa planet av en komplex funktion
W, m. a. o. / Wdp = o, om JV är ändlig och konti-O
nuerlig inom hela ytan. Detta gäller för övrigt även om ytan är ringformig eller på annat sätt begränsad av ett flertal slutna konturer. (Se Riemann-Weber, del I, sid.
eF
122). Tänka vi oss alltså alla punkter, där . . . = lf
' PZ(P)
är oändlig, d. v. s. där pZ(p) = o omslutna med små cirklar och betrakta exempelvis den vänstra halvcirkeln i fig. 1 så är integralen längs AECA, (d. v. s. integralen från — jo 0 till +j 00 för positivt /), lika med summan av integralerna längs de små cirklar som falla inom nämnda halvcirkel. Dessa cirklar omskriva dels punkten p = o dels de punkter, som motsvara rötter till Z{p) — o med negativ reell del. I närheten av en rot p = pv kan nu Z(p) utvecklas i serie.
Z{p)-Z{p—pv+pv) = Z(p^ + {p—pv) Z’(pv)+— |J-- Z"(pv + .. Då Z(pv) = o och (p —pv) oändligt liten kunna vi skriva
Z{p) = [p — Pv) Z'[pv).
Vi få alltså för positva t
fm dp -fmf + %fw=drm • • (,)
—./oo c v o
där den första integralen är tagen längs hälften av en liten cirkel kring p = o och de övriga längs små cirklar kring var och en av punkterna p — pv. Nu är generellt, om /(/>) är en funktion av p ,
AP)
f
P — P\
dp — 2 nf . f(pv) . (IO)
O
där integralen är tagen kring en linje i det komplexa planet, som omsluter punkten pv och f[p) samt /'(/>) äro ändliga och kontinuerliga innanför konturen ifråga. (Se Riemann-Weber, del 1, sid. 124.) I de senare integra-
ejt
lerna i ekv. (9) motsvaras nu f(p) av
P ■ Z\Pv)
. Alltså blir
/.
eF
eF
_ d/> = — - - ’. 2 77/.
Pip-Pv)Z\PP 1 pyZ\pv)
O
I den första integralen motsvaras /(/>) av — — och är
pv = o. Emellertid omfattar den kontur, som utgöres av den imaginära axeln och den vänstra halvcirkeln, ej punkten p = o utan passerar rakt igenom densamma. Av rena symmetriskäl följer då, att blott halva integralen längs cirkeln kring p — o skall medräknas och vi erhålla
eF 1
, - dp — —7— TT . 1.
pZ(J>) 1 Z(°)
c
J,
Källa: Internet Archive ·
