Teknisk tidskrift 1919

Sida 764

Husbyggnadskonst

TEKNISK TIDSKRIFT

5 Febr. 1919

Vi få alltså

“f- J 00

1 j eP* 1 ePv1

-jJ pZs[P) 2^(°)+ Z\pv)

och alltså

—j oo

eP»

. /_L_ , V

\z{o) “T pv z\pv)

(”)

vilken formel gäller för t > o.

Formel (11) innehåller Heavisides s. k. expansionsteorem (för det fall att några dubbelrötter ej förekomma),

vilket Heaviside själv dock uppställt utan något bevis.

+/ 00

, r eP*

rör t -< o kan / — — — dp ersättas av samma integral,

J pz{p) ;

— j te

tagen längs den imaginära axeln och den högra halvcirkeln. Under förutsättning, att Z(p) ej ha några positiva reella rötter eller komplexa rötter med positiv reell del, blir då

+ j te

Sm*- i.

~j te

ept

PZ[P)

där denna sista integral är lika med halva integralen längs en liten cirkel kring p — o och alltså

Zip)

(Minustecknet uppkommer denna gång, emedan integrationen kring p = o sker åt negativt håll). Vi få alltså för t <; o s — o i enlighet med våra förutsättningar. Vi ha härvid antagit, att Z( p) ej har några komplexa rötter med positiv reell del. Det är emellertid viktigt att lägga märke till, att detta antagande ej är något självständigt villkor för giltigheten av expansionsteoremet. Skulle Z(/>) ha några dylika rötter, bleve j ej lika med noll för t < o, och detta är med de gjorda förutsättningarna omöjligt.

Är alltså det enda villkor uppfyllt, som vi fordrat för de i det föregående utvecklade metodernas giltighet, eller att ett stationärt tillstånd eller ett stabilt jämviktsläge är möjligt, rn. a. o. att en periodisk kraft, som verkat tillräckligt länge i en punkt af systemet, åstadkommer periodiska variationer hos övriga storheter även i andra punkter av systemet, så kan Z(p) helt enkelt ej hava några rötter med positiv reell del. I denna fordran på stabilitet ligger i själva verket alla villkor så väl för giltigheten av ekv. (5) och (6) som av expansionsteoremet inbegripna.

Ännu ett villkor tyckes visserligen nödvändigt att uppställa för expansionsteoremet. För att kunna ersätta integralen längs den imaginära axeln med den slutna integralen längs imaginära axeln och den oändligt avlägsna halvcirkeln fordras, att Z[p) ej blir konstant lika med noll för p — co. Det är emellertid att märka, att Z(p) ej kan bli konstant = o när p — 00, om vi ej göra verkligheten ej motsvarande förenklingar. Sätta vi exempelvis motståndet och induktansen = o, kan för vissa elektriska problem Z[p) bli konstant = o för p = 00, exempelvis impedansen

för en kondensator, som ju är Z = ~ , men så snart mot

ståndet införes, blir förhållandet annorlunda. För vissa strömbrytningsproblem kan försummandet av den ändliga brytningstiden verka på samma sätt.

Såsom vi redan förut påpekat, gäller dock expansions¬

teoremet i den i ekv. (11) givna formen, endast när alla rötterna till ekv. pZ(p) — o äro olika. Förefinnes en dubbelrot, får ekv. (11) en något annan form. Vi skola emellertid ej ingå därpå, så mycket mer som en vanlig dubbelrot ej är något praktiskt ofta förekommande fall. När dubbelrötter förekomma, är det oftast i form av en oändligt mångfaldig rot. En sådan förekommer exempelvis vid de flesta problem beträffande vågor å linjer, det endimensionabla värmeledningsproblemet m. m., så snart linjen betraktas som oändligt lång. Vi få i dessa fall Z av formen A . som har en oändligt mångfaldig rot

för (f(p) — — 00. I dessa fall kan man emellertid ej erhålla en lämplig form för expansionsteoremet, utan är det enklare att utgå direkt från ekv. (5).

Jag skall i detta sammanhang i korthet beröra expansionsteoremets form, för det fall, att Fe j är en från / = o konstant »kraft» utan en godtycklig, icke periodisk funktion E(t). Vi kunna då på samma sätt som vid härledning av ekv. (7) tänka den sammansatt av en oändlig summa oändligt små elementarkrafter, var och en konstant = dp\z) från en bestämd tid z. Den av en viss elementarkraft dE(z), som angriper vid tiden r, orsakade ändringen i systemstorheten s är då med ledning av ekv. (11)

varav

Z(o) , p, Z\p.)

/•

Pv7

F\z)dz

(12)

Denna formel kan användas för behandling av problem med variabel »kraft» F.

Jag skall i det följande giva ett par exempel på användningen av de utvecklade metoderna. Av utrymmesskäl skall jag emellertid inskränka mig till det minsta möjliga och får beträffande vidare exempel överlämna åt läsarna att på egen hand pröva metodens använnbarhet.

Till en början skall jag giva ett exempel på användningen av expansionsteoremet.

Vi tänka oss en kombination av motstånd R, självinduktion L och kapacitet C i serie, vid tiden t —o plötsligt inkopplad på en konstant spänning E. Sökt är strömstyrkan i. Kallas spänningen på kondensatorn ?>, så är

— L- = Ri + v — E . . . dt

• • • • (13)

och

■ rdv

1— C— .

. . . (14)

alltså

e = Ri + Lpi + v,

•'Si .

där

p = joj.

Elimineras