Sida 765
Husbyggnadskonst
5 Febr. 1919
eller px —
P, =
Vidare är /(o) = 00
— « +
— « 4 - j fl
ELEKTROTEKNIK, HÄF T. 2 29
och erhålla då ekvationer mellan reducerade symboler
. (2°)
di
-s ; ctv
=AL — Cp — ^ + 2/A = i i2
alltså ger ekv. (11)
^(— « + ./*)*
A — « — y,j) /
724?
E
E
SL
é~ai . sin /?/ . (17)
Liknande exempel skulle kunna väljas i stort antal ; även när det gäller problem rörande vandringsvågor å linjer m. m. är expansionsteoremet oftast till stor nytta.
Jag skall emellertid nu välja ett praktiskt viktigt exempel, där expansionsteoremet ej lämpligen kan användas, utan vi i stället nödgas gå tillbaka till ekv. (5), nämligen problemet angående förändringen av formen på en ursprungligen rektangulär vågfront, som fortplantar sig längs en dubbelledning. I sitt föredrag i febr. 1914 »Om beräkning av överspänningar», som sedermera delvis inflöt i Teknisk Tidskrift, ingick prof. Pleijel bl. a. även på vågfronten och dess eventuella förändringar. Prof. Pleijel förfäktade därvid med stor bestämdhet den uppfattningen, att vågfronten förblev absolut oförändrad. Jag tillät mig i ett anförande (som delvis torde återfinnas i protokollet från sammanträdet) framlägga bevis för, att denna ståndpunkt var felaktig, och att vågfronten måste så småningom förändras. Framställningen, vars tankegång delvis i princip anslöt sig till den jag i det följande kommer att giva, var naturligtvis ofullständig och icke genomförd strängt kvantitativt. Förmodligen lyckades jag ej fullt klargöra min mening, ty prof. Pleijel vidhöll bestämt sin ståndpunkt. I senaste novembernumret av »Elektroteknik» har han emellertid, med uppgivande av sin gamla ståndpunkt, givit en framställning, som visar, att fronten i verkligheten måste förändras, och har han även beräknat förändringens storlek för såväl järn- som kopparledning. I det följande skall jag, ehuru med användande av de betydligt avvikande metoder jag i det föregående framställt, göra en liknande beräkning. Då dessutom av mig och prof. Pleijel gjorda approximationer delvis äro av olika art, kan en jämförelse vara av ett ganska stort intresse.
Ekvationerna erhållas omedelbart ur fig. 2 och 3. (För utförligare motivering hänvisas till prof. Pleijels omnämnda artikel). Om Ea är värdet av fältstyrkan E i ledarnas centrumplan och längs inre generatrisen av de cylindriska ledarna med radien a, v spänningen mellan ledarna, i strömstyrkan och L yttre självinduktionskoefficienten (d. v. s. den, som endast hänför sig till fältet utanför ledarna), erhålles med ledning av fig. 2:
di dv
. (18)
dx dt
dv di
— = 2 Ea + L-
(r9)
Vi önska erhålla v som funktion av x och t, om vid
*
t = o och x — o en konstant spänning V inkopplas. Vi tänka då till en början i enlighet med den föregående framställningen stationärt tillstånd rådande, orsakat genom en harmoniskt verkande e. m. k. i en punkt av systemet
dy
dx
2 Aa + pLi . (21)
Fig. 2.
Det gäller nu att erhålla ett samband mellan Ea och i. För detta ändamål uppställa vi med ledning av fig. 3 och genom att tillämpa elektromagnetismens första huvudekv. på ett rörformigt strömelement med inre radien r och tjockleken dr ekvationen:
Fig. 3-
Genom att tillämpa andra huvudekv. (induktionslagen) på ett rektangulärt element av längden 1 cm och bredden dr, beläget i ett plan genom den cylindriska ledarens axel erhålles:
dll /_££■/
- V + äA
Genom förenkling av de båda sista ekvationerna erhålles
1 d(llr)
4~<jE —
r
dr
dll dE dt dr
(22)
(23)
Om vi nu ånyo tänka oss stationärt tillstånd rådande, orsakat genom en harmonisk e. m. k., erhålla vi, om /Vt» sättes lika med p , ett system av ekvationer mellan reducerade symboler
1 d(Hr)
47T0E — - - — . (24)
r dr
dE . ,
l‘pI?=Tr . (25)
Elimineras II ur de båda sista ekv. erhålles
d2E 1 dE
+ - 77 — 4 -nnpE = o
(26)
dr ' r dr
Sättes a = \ ^7rau. . (27)
erhålles E — Al ^ jr a \p) + BNjjra \Jp)
Källa: Internet Archive ·
