Sida 766
Husbyggnadskonst
3°
TEKNISK
där /0 resp. 7V0 betecknar Besselska nollfunktioner av första resp. andra klassen.1
Då AT0 oändlig för r = o, men E samtidigt ändlig, måste B vara noll och
Ea = Aljjaa slp) . (28)
Enligt ekv. (25) är
1 dE H= --7 up dr
TIDSKRIFT
där
5 Febr. 1919
A
H = ■■ I0'{jra \jp) .ja \p.
O111 H för r — a sättes lika med //„ är
4 - { — 2 naHa
och
4A I-jjaa } p)
X
(29)
ja a \p
där R är ohmska motståndet för likström per längdenhet, alltså
jaa \p . Ijjaa \Jp) R .
2 K = *■* J
Waa yp)
Ur ekv. (20), ^21) och (30) erhålla vi nu
/ . (3o)
di
-j = — Cpz ' dx
dr
dx
+
pL +
jaa SP • 4 (Jaa yjp ) R
härav
4(/a« yp)
1 — o
dhj
chA
CLp* + “PÅ . K
Pj/aa \Jp) 2
eller
dAv
-R - ©27' - o .
dx 2 ‘
v — Ae?-1 -f Be-r *
(3 0
Då för och för
x — o y — y0
X = CO V
blir
där
y — y0 e~rx —
Vo
Z
Z = er*
(32)
(33)
och
?
CLP * + _
2 4 uaa yp)
Vi ha här tydligen ett fall, där expansionsteoremet ej kan användas. Vi få nämligen Z = o för <p — — <x och där finnes en oändligt mångfaldig dubbelrot. Vi använda oss i stället av ekv. (3) och (5)
eJ
V V 2
Vo — - 1 -
2 7TJ J (O
O
‘(O t
dco
(35)
och då för en harmonisk svängning v — - °
. Z
V V 2
V — - - - -f-
2Z(o) 2 7CJ
co
2 C eJa,t
T/ J CO . Z{joj) dc°
(36)
Vi ha nu Z( o) = 1 och Z(jaj) — exr. Av ekv. (34 erhålles
<p = 1/ — C Lo A + jcoC. R .
9 • v/ — / 4(<? 4—}'^
2 4W-/)
= <y(x +» . (37)
1 Se Jahnke-Emde, Funktionentafeln, sid. 166.
aa y co — q
(38)
(o{x + ju) = V — c Loj2 + /a> CR(j + fy) . . (39) (För bestämning av jj och y} se Jahnke-Emde, Funk-
. . o w'
tionentafeln, sid. 144 och 147, där ,9 motsvaras av — och T> 7f0
•)
av
L\ . oj
ni —
- ?[V
2 Ry R* (fi2 + r2)
I "T + - - 1
L co JA co%
• £ _ ew(x 4-J «) x
Alltså på grund av ekv. (36)
(42)
V V 2 r e~WXx
v = -| - - / - - . ~ "-*) Äu .
2 2 Tl) J co
O
Den reella delen härav utgör den fysikaliska lösningen
. sin co[t — nx) dco . i (43)
V V 2
v = - + -
Ekvationerna (43), (40) och (41) innehålla lösningen av problemet. Sätta vi till en början R — o, blir x = o
och « = VuZ = — , där c är ljushastigheten 3 . io’°
cm
/sek vid luftledningar, |^vid kablar däremot 3 . io10.-,
cm/sek
Alltså
CO
U V 2
» = H -
2 2 7: ,
sin co ( t -
dco
co
(44)
Då integralen är = — för / — >0 och = — för
2 c 2
x
t - <0 blir v — V för x < cl och V = o för x > r/,
d. v. s. den rektangulära vågfronten fortplantar sig på välbekant sätt oförändrad med ljushastigheten. Är A?=o förefinnes däremot större svårigheter att beräkna integralen. Vi kunna emellertid omedelbart göra en del slutsatser. Är x — o eller mycket litet, blir <?-funktionen lika med 1
71
och integralen — — för / > o och = — 1 för / < o,
2 2
d. v. s. v — V för / > o och v — o för t < o.
A andra sidan veta vi, att den största tänkbara hastigheten är den, som motsvara^ en förlustlös ledning eller en fri våg, d. v. s. för luftlinje lika med ljushastigheten c (som ju är den absolut högsta möjliga fysikaliska hastighet). Om vi alltså för ögonblicket tänka oss vågen fixerad i ett visst ögonblick, så är v = o för x > cl. Vi ha alltså
/
sin co(l — tix ) dco = - för x > c t och = +
CO 2 2
för x ~ o. För x >• ct är (t — nx) negativt för varje värde på co mellan o och 00, och det är av intresse att konstatera, att ovannämnda integral under dessa förut¬
sättningar
är = /
sm kco , . . jr ...
dco, som ju ar = - for varje
co 2
O
Källa: Internet Archive ·
