Sida 767
Husbyggnadskonst
5 Febr. 1919
3 1
ELEKTROTEKNIK. HÄFT. 2
negativt k. Å andra sidan är för x = o (/ — nx) positivt för varje värde på co och är integralen då även
-f
sin kco , „ n r. ■ . . ,
aio, som ar = + - för varje positivt k. Sa oj 2
snart x börjar bli mindre än ct, börjar emellertid (/ — tix) bli >• o för stora w. Tydligen börjar då integralens värde
att småningom stiga från - - för att vid x — o, då
2
7T
(/ — nx) > o för varje o >, bli = + — . På grund av de
2
i integralen ingående funktionernas form måste nämligen integralen ändras kontinuerligt, så att, om vi exempelvis
från x — ct , där integralens värde är - , minska _r
2
med ett oändligt litet stycke dx, måste integralens värde även ändras med en oändligt liten storhet. Spetsen av vågfronten måste alltså ligga vid a: = ct, där v = o, och v därifrån kontinuerligt stiga till x — o, där v — V1. [Att spetsen av vågfronten ligger vid x = ct, d. v. s. rör sig med hastigheten c kunna vi även sluta därav, att v är
V
en summa av en konstant spänning — och en oändlig
2
summa av harmoniska svängningar med olika cirkulär frekvens (o, varierande från o till 00. Hastigheten för varje
svängning är tydligen = — , som i allmänhet är mindre
71
än c [se ekv. (40)] utom för de högsta övertonerna,
yo) == co) där — — c, och utgöra dessa övertoner spetsen n
av vågfronten].
Vi få emellertid påpeka, att vad som i första hand intresserar oss, är ej v som funktion av x i ett visst ögonblick, utan v som funktion av t i en viss punkt, exempelvis x = 1 km. Det är ju denna variation av v, som bl. a. bestämmer påkänningen på en vid .v = 1 km befintlig spole. På de förut angivna grunderna blir då tyd-
x
ligen v — o för t < — och v = V för t
co.
dv
Något, som vidare intresserar oss, är värdet av — 1
x
spetsen av vågfronten, d. v. s. när t — — Vi erhålla
C .
av ekv. (43).
dv
dt
V
00
= •— / e~ 0,xx . cos oj (t — nx) do) . . . (45)
Om detta uttryck gäller, att det tydligen för t-= co då stationärt tillstånd inträtt för ändliga värden på x , måste vara = o, och vidare, att det måste vara = o för x
t < — . För t — go (och först för t — co) är nu [t — nx) c
>• o för varje värde på 10 mellan o och 00, och för x ( x\
t< — (men ej för t > — j är (/ — nx) < o för varje värde
på oj. Integralen i ekv. (45) har alltså en viss likhet med den förut behandlade integralen i ekv.' (43). Vågen an-
x
länder till punkten x vid t = — , men på grund av inte-
_ c
1 Beträffande kontinuiteten av bestämda integraler se närmare Riemann-Weber, del I, sid. 18.
*•
grälens natur måste en oändligt liten ökning i tiden t motsvaras av en oändligt liten ökning av integralens värde
3 d
[analogt med integralen i ekv. (43)]. Då alltså — kon-
3/
. . dv
tinuerligt ändras från värdet noll, blir - i spetsen av
dt
X
vågfronten, d. v. s. för t — , entydigt == o.
C
o 3?>
För ett visst värde på t måst innehava ett maximum,
dt
o dv 0 dv
da — ändras kontinuerligt från — = o för t < över
dt dt c
. dv
ändliga värden tillbaka till — == o för t — oo.
dt
Vi ha på så sätt fått en ganska god kvalitativ bild avvågfrontens form.
Om vi räkna tiden från det ögonblick vågen inträffar
i en viss punkt x, blir tydligen
00 V
v = - +
v 2 r
2 71 J
- wxx
- . sin oj
(O
J^/ — x (^n — J d(0 (46)
dv
dt
00
-:/•
e—U>XX COg ^
^ — x (^n — J 0V0» . . (47)
Innan vi övergå till en kvantitativ beräkning av vågfronten, skola vi undersöka den numeriska storleken hos ingående konstanter, då detta är nödvändigt för att överskåda eventuellt nödvändiga serieutvecklingars konvergens m. m. Vi skola undersöka såväl en järnlinje som en kopparlinje. I båda fallen antaga vi vågmotståndet
▼ '
= 500 .o., och då vid luftlinje - — = c= 3 . io5 km/sek,
blir L= 1,67 . io~ 3 henry/km och C= 6,67 . 1 o~ 9 farad/km.
Radien antages till a = — cm. För järnlinjen antaga vi
2
f± — 1 000 och a — io— 4 C. G. S., alltså a = ^4 xofj. — — 1,12 C. G. S. och q = aa \jto = 0,56 \Jco C. G. S. För kopparlinjen antaga vi däremot /j = 1, o = 5 . io~4,
alltså a = 0,0792 C. G. S. q — 0,0396 yry C. G. S.
Det visar sig nu, att för co > 1 o6 kunna uttrycken på n och x i ekv. (40) och (41) genom serieutveckling förenklas till
1 \ 1
co n
c
aa R
- -= • j Voj = / \Joj . . . (48)
c 4 \ 2 J -
1 aa R .
(OX — - — — \ OJ
4
L
/V
OJ
(49)1
Om vi på försök antaga, att dessa uttryck kunna insättas i ekvationerna (46) och (47), ehuru undre gränsen för resp. integraler är = o, förenklas dessa till:
obetydligt, så snart w ]> iofi. För kopparledning, där - och a äro
1 Vid järnledning är felet i ekv. (48) och (49) egentligen försvinnande först för oj närmare io7, ehuru felet dock är relativt
Ä ?
1
betydligt mindre, gälla ekv. (48) och (49) praktiskt taget exakt så snart oj ioe: Om oj avsevärdt mindre än io°, bli dock även
här, trots de små värdena å -- och a, uttrycken ganska approximativa, emedan q vid kopparledningen är så liten, att för w iou de vid härledning av ekv. (48) och (49) använda förenklade uttrycken å /3 och y ej längre kunna användas.
Källa: Internet Archive ·
