Sida 768
Husbyggnadskonst
V
3 2
TEKNISK TIDSKRIFT
5 Febr. 1 91 9
V
-j - - —
2 2
1 2 c e— .v* v t,
2 nj (0
. sin (tco — x'å X to) dto . . (50)
och
där
dv
?/
— - / c~~ -r • / . cos(/cy — x/ X a>
t xj
0) dto . . . (51)
Å —
1 aa
R
(52)
c 4I2 ^
För att visa det berättigade i ovanstående förenkling beräkna vi värdet av de i ekv. (50' och (5 1) ingående integralerna för t — o, d. v. s. värdet i vågfrontens spets. 1 enlighet med vad vi förut visat, måste vi där erhålla
-x.XV.
OJ
och
sin (xÅ \‘o>) . dto = —
cos (.v/ ) oj) . doj — o .
Införa vi en variabel v — xÅ ] 10, förändras dessa integraler till
00 00
dy 2 /■
2 / r~ >’ . sin y ’ och / e~-v . cos v . v . dy.
J y /**2 J
o o
Den första av dessa integraler är emellertid just
(Riemann-Weber, del I, sid. 30), och den andra, som omedelbart kan integreras per partes, är lika med noll. Detta visar alltså, att vi komma till exakt riktigt resultat i spetsen av vågfronten, om vi utföra integrationen från o till 00 och därvid använda oss av de förenklade uttryck på x och n, som äro givna i ekv. (48) och (49), m. a. o. att ekv. (50) och (51) giva exakt riktiga värden å v och dv
i spetsen av vågfronten.
Under dessa omständigheter måste ekv. ^50) och (51)
åtminstone med god approximation ange värdet av v och
av . 0
- i allmänhet i närheten av vågfronten, alltså för relativ dt ö ’
små värden på /.
Det är av vikt att undersöka, för huru stora värden på t eller ct som ekv. (50) kan användas. Vi veta, att bm
00 (X
f fll((u)doj är konvergent, så är lim / tp\0J) j0) __
J k = 00 J 10
J(U
~T
. ^(o) och
lim f
k = öo J
. sm koj 7 1
y\(o) - dto— — 5p(o), även
oj 2
om /Itu oändligt liten, blott k . A to är oändligt stor. Alltså
blir bm
k ~ GO
00
fnv)
sin k oj
to
dtö — o. (Beträttände ifrågava¬
rande integral se närmare Riemann-Weber, del I, sid. 38. Den geometriska förklaringen är för övrigt den, att för k = 00, d. v. s. våglängden hos den dämpade sinusvågen oändligt liten, summan av två på varandra följande positiva och negativa ytor, vardera motsvarande en halvperiod, är oändligt liten i förhållande till var och en av ytorna utom oändligt nära to = o, till vilket område resultatet av hela integrationen alltså blir koncentrerat.) Vi kunna nu i ekv. (46), som ju angiver det exakta värdet på skriva
den där ingående integralen (tagen med ombytt tecken) 00
under formen / d (tö) — - — dto , där k = x (^n - — /
O *
visserligen icke är en konstant = 00. Emellertid är i
närheten av to = o k även här = 00 och alltså måste Au>
r„rf v sin ktö TZ x - : -
/ * (*0 — ^ — dto vara == ^ da fP(o) =1. A andra si¬
dan veta vi av det föregående, att för t o, (då k hela tiden är positiv och först för to — 00 blir = o) integralen
tagen från o till 00 måste vara exakt — - . Alltså blir
2
värdet av integralen tagen från Aco till co lika med noll, trots att k ej är konstant. Vore /’ lika stor, men med motsatt tecken, skulle integralens värde likaledes bli detsamma, men med motsatt tecken. Om nu i > o, blir k negativ för stora värden av to. I närheten av oj — o är dock k fortfarande oändligt, hvarför värdet av
integralen från o till Ato fortfarande måste vara =
2
Om oj0 är det värde på to, som gör k = o, så måste tydligen värdet av integralen från A(ö till to0 fortfarande vara lika med noll, men däremot värdet av integralen från to0 till 00, där /• blifvit negativ, vara negativt. Fysikaliskt sett betyder detta, att integralens värde, eller rättare sagt det
belopp, varmed integralens värde understiger A , endast
2
beror på de vågor, som i det betraktade ögonblicket hunnit fram punkten x, när hastigheten hos varje våg är
n
Om nu to — io° är det minsta värde på to, för vilket de approximativa uttrycken i ekv. (48) och (49) kunna ersätta de exakta, kunna vi erhålla de största värden på /, för vilka ekv. (50) kan användas, genom att söka det värde på /, som för to — 106 gör k — o. Vi finna, att detta värde motsvaras av c t 0,15 x. För den del av vågfronten, som ligger mellan ct — o och ct = 0,15 * kan alltså ekv. (50) användas utan nämnvärt fel.
Integralerna i ekv. (50) resp (51) kunna nu beräknas genom att uttrycka de trigonometriska funktionerna i komplex form och komplettera kvadraten i exponenten för den komplexa <?-funktionen, varigenom efter diverse substitutioner kunna erhållas integraler, som antingen kunna exakt integreras eller reduceras till felintegralen. Det är härvid alltid den reella delen, som utgör den fysikaliska lösningen.
Emellertid är det i detta fall även möjligt att direkt erhålla lösningen genom jämförelse med ett bekant problem. Uttrycket på v enligt ekv. (50) är nämligen, om vi sätta
2/2 = -j > identiskt lika med det uttryck, som med användning av den här utvecklade metoden exakt erhålles tör temperaturen i det endimensionabla värmeledningsproblemet för ett obegränsat rum, i vilket ett visst plan motsvarande x — o plötsligt höjes till temperaturen 9, som sedan hålles konstant. Om värmeledningsekv. skrives:
c 2 9 cpd 9
3.V2
k dt
där c spec. värmet, p tätheten och k inre värmeledningskoefficienten) kan å andra sidan lösningen som bekant skrivas under formen
Källa: Internet Archive ·
